Treatise on the rising and setting of signs, "Horizon rectus".
Version: 2009-08-26. Previous version: 2002-08-07.

Status: Transcription from Oxford Bodl.L., Bodl. 300 (=B3), 84rb-90ra. Not printed.

For a notice of the text, see F.S.Pedersen, "The treatise on the rising and setting of signs ascribed to Roger of Hereford", Cahiers de l'Institut du Moyen-Âge grec et latin 75 (2004) 3-6. It is argued that the "Herfordia" mentioned in the text is really Erfurt, and it is suggested that the text is a Parisian work from the 13th-14th century with later revisions for Erfurt.

The manuscript is rather faulty, and more emendation is needed for certain passages to make sense. Scribal self-corrections have been followed tacitly, and banal dittographies have been eliminated. There are no diagrams in the manuscript.

----------------

(top of 84rb, m2:) De ortu et occcasu signorum.

(right mg., at start of text, m2:) Incipit(?) tractatus Herfordensis de ortu et occasu signorum.

§
Horizon rectus est circulus magnus transiens per polos aequinoctialis, scilicet arcticum et antarcticum. Omnes recti horizontes sese intersecant super polis aequinoctialis. Et idem est iudicium de horizonte recto et de qualibet magna circumferentia superficiem convexam sphaerae super polis aequinoctialis dividente, quo ad ascensus et descensus astrorum et signorum sive arcuum zodiaci quorumcumque, quia angulos causant cum ecliptica similes angulis quos ipse horizon rectus efficit super eadem linea.

Omnis autem circulus dividens caelestem sphaeram in 2'o aequalia, cuius poli cadunt inter aequinoctialem et duos polos eius, vocatur obliquus horizon. Et idem est iudicium de omnibus talibus, quorum tamen poli a circulo recto aequaliter distant, quo ad ascensiones et descensiones signorum et astrorum, quia omnes tales horizontes dividunt eclipticam in angulis sphaeralibus similibus.

Divisio (-oni B3 pc) omnium horizontum obliquorum, quorum poli cadunt in uno meridiano, <**> super polis eiusdem meridiani, id est super verum orientem et occidentem, quae sunt puncta horizontum super quibus aequinoctialis circulus secat tales horizontes. Ex quo patet quod in omnibus regionibus, quorum zenith cadunt in eodem meridiano, sol bis in anno aeque cito oritur et non pluries. Similiter patet quod possibile est solem prius oriri in una civitate quam in alia, et tamen aeque cito in omnibus erit meridies.

Patet etiam ex dictis quod omnes civitates habentes eundem meridianum aequaliter distant a vero occidente et oriente, quia in omnibus horizontibus eiusdem meridiani est unum verum oriens et unum verum occidens, quae sunt, sicut prius dicebatur, poli meridiani, super quibus aequinoctialis secat omnes tales horizontes. Et idem poli, scilicet meridiani, essent poli circumferentiae terrae in qua situantur illae civitates, quia illa circumferentia et ille meridianus sunt concentrica, cum terra sit sphaera; igitur habent eosdem polos; igitur civitates sitae in tali circumferentia //B3,84va// aequaliter distant ab illis polis, ut patuit; illi poli sunt verum oriens et occidens; igitur et cetera.

Ad declarandum uniformitates et diversitates accidentes partibus zodiaci ex parte ascendentium, oportet aliqua praemittere principia.

Quorum primum sit tale: In omni trigono facto ex concursu magnarum circumferentiarum in convexitate sphaerae sese secantium, maiori angulo opponitur arcus maior, et e converso. Patet illud, lateribus talium trigonorum cordis subtensis.

2'm: Omnis magnus circulus in superficie sphaerae transiens quemlibet circulum alium, per cuius polos transit, secat ad angulos rectos sphaerales.

3'm: Omnis magna circumferentia convexitatis sphaerae aliam magnam circumferentiam, per cuius polos non transit, dividit ad angulos 4, quorum duo sunt acuti et 2'o obtusi, versus illam partem ad quam declinat una talium circumferentiarum a polis alterius [et obtusi], acuti vero (a.v.: del. B3) versus aliam partem, a qua removetur una earum declinando a polo vel polis alterius. Et similiter, quanto una talium polis alterius plus appropinquaverit, tanto ad rectiores angulos eam secat; et quanto plus recesserit, tanto acuti essent acutiores et obtusi obtusiores, ut in sphaera videtur.

4'm: Si aliquorum trigonorum ex concursu magnarum circumferentiarum in convexitate sphaerae bases aequales fuerint, et latera unius lateribus alterius breviora fuerint, et eisdem lateribus brevioribus basis subiecta in angulis magis accedentibus aequalitati insteterit quam anguli super basim alterius, scilicet trianguli, tunc trianguli (rectanguli B3) angulus conalis est maior, cuius latera sunt breviora.

Ista principia manifeste patent ex primo Iebri, qui est de ista materia.

(Mg., m2:) De ascensionibus signorum in sphaera recta.

§
Restat nunc loqui de ascensionibus arcuum zodiaci in sphaera recta. Dico igitur quod cum qualibet medietate zodiaci eclipticae in sphaera recta ascendit medietas circuli aequinoctialis. Istud notum est primo de 2'abus (-obus B3) medietatibus inceptis a punctis aequinoctiorum (-arum B3), quia in illis punctis 2'ae medietates zodiaci conterminantur 2'abus (-obus B3) medietatibus circuli recti. In illo tempore in quo caput //B3,84vb// arietis movetur ab oriente, donec cadat in circumferentiam horizontis occidentalis, peroritur medietas zodiaci ab eodem capite incipiens cum medietate aequinoctialis, quia, capite arietis existente in uno puncto horizontis, caput librae est in opposito puncto in uno(!) diametro; igitur una medietas aequinoctialis est super horizontem et alia infra; igitur perorta est medietas cum medietate. Et etiam per se notum est idem de 2'abus (-obus B3) medietatibus zodiaci a punctis solstitiorum incipientibus.

Ex quo probatur (primo B3) omnibus aliis medietatibus zodiaci inceptis in punctis quibuscumque aliis a dictis 4 medietates coascendere. Incipiatur igitur una medietas zodiaci in aliquo puncto inter caput arietis et cancri, videlicet a principio geminorum, et finietur in principio sagittarii. Tunc verum est quod ascensio signi geminorum cum ascensione arcus a capite cancri transeuntis in principium sagittarii facit unam medietatem aequinoctialis (-lem B3), quia ascensio sagittarii -- quae est aequalis ascensioni geminorum, sicut post patebit, quia oppositorum signorum aequales sunt ascensiones -- cum eadem ascensione facit medietatem, <**?> quia cum medietate transeunte a principio cancri oritur medietas aequinoctialis, igitur ascensio medietatis zodiaci a principio geminorum incipientis est medietas aequinoctialis. Et conformiter probari potest de aliis medietatibus, quia omnino eadem est ratio.

Quartae autem nulli zodiaci cooriuntur 4'tae (-to B3) aequinoctialis praeterquam illis quae a 4 punctis cardinalibus incipiunt. Capiatur 4'ta zodiaci a puncto aliquo inter principium capricorni et arietis incipiens, ut a principio piscis. Nunc imaginor circumferentiam recti horizontis per illum punctum transire, quae eclipticam super eodem puncto dividit, sic quod angulus intrinsecus versus arietem est acutus, ex tertio principio praemisso, et circulum rectum vel aequalem ex 2'o (primo B3) principio ad rectos secet angulos. Factus est igitur iam trigonus ex concursu magnorum circulorum. Igitur, ex primo (2'o B3) principio, arcus zodiaci a principio piscis usque ad principium arietis procedens est maior suo ascensu. Deinde faciam transire rectum horizontem per principium geminorum; et ex eisdem principiis probo arcum arietis esse maiorem suo ascensu. Quare cum 4'ta zodiaci a principio piscis incepta oritur minor pars quam 4'a; //B3,85ra// aequinoctialis; et idem est argumentum de omnibus 4'tis in eadem 4'ta incipientibus.

Deinde capitur alia quarta zodiaci inter caput arietis et cancri, sicut a primo puncto tauri. Tunc argumento priori patet ascensionem arietis esse minorem eo; quae (quod B3) subtrahitur 4'a aequinoctialis a capite arietis incipiente, et residuum erit maius tauro et geminis. Et eodem modo probo ascensionem arcus zodiaci a principio cancri (libre B3) usque ad principium leonis esse maiorem suo ascensu; quare tunc cum 4'a zodiaci a principio tauri incipiente ascendit maior pars aequinoctialis quam 4'a eius. Consimiliter hoc in aliis quartis habet probari.

Sed quod 4'tae zodiaci a 4 dictis punctis cardinalibus incipientes sint suis ascensionibus aequales, patet etiam ex hoc quod 2'o coluri quadrant tam zodiacum quam aequinoctialem. Ex quo patet quod horizon rectus et meridianus numquam quadrant in sphaera recta zodiacum, nisi fuerit aliquis punctus cardinalis ascendens, quia semper 4'a aequinoctialis est a meridiano ad orientem.

Ex dictis patet quod omnes 4'tae inceptae inter caput capricorni et caput arietis oriuntur cum arcu aequinoctialis minore 4'a; et omnes inter principium arietis et cancri oriuntur cum arcu aequinoctialis maiore 4'ta; et de 4'a inter principium cancri et librae est sicut de prima post capricornum incipiente; et de 4'ta a principio librae incipiente est sicut de illa quae est post principium arietis, quoad ascensionem rectum [vel obliquum].

Partes autem 4'tarum a 4 dictis punctis inchoantes non aequantur suis ascensionibus. Sed cum quolibet arcu primae quartae, scilicet inceptae a capite arietis, ascendit arcus aequinoctialis eo minor; quod patet, si rectum horizontem transire imaginemur per terminum illius arcus, ita quod fiat triangulus orthogonius sphaeralis, cuius acutus angulus est super eclipticam. Illi angulo opponitur ascensio illius arcus zodiaci, qui arcus zodiaci in eodem triangulo opponitur angulo recto; igitur est sua ascensione maior. -- Et cuilibet arcui 2'ae 4'tae zodiaci coascendit arcus aequinoctialis eo maior: patet subtrahendo latera trianguli, cuius conus est super principio librae et basis est portio recti horizontis inter finem illius arcus et aequinoctialem (-l(is) B3) cadens, //B3,85rb// a 2 4'tis, scilicet zodiaci et aequinoctialis, quia latus illius trianguli, quod est arcus zodiaci, est maior alio, ex principio 2'o et 3'o; igitur residuum illius lateris est minus quam residuum alterius lateris eiusdem trianguli.

Et arcus 3'ae 4'tae ascendunt sicut arcus primae 4'tae; et in 4'ta 4'ta est omnino sicut in 2'a 4'ta. Quod ex hoc patet, quia anguli acuti eclipticae cum horizonte recto versus principium capricorni sunt +primo+ aequales angulis eis oppositis, quia, ut sint in punctis aequaliter distantibus a punctis 4, rectus horizon in angulis aequalibus eclipticam dividit, ex 3'o praemisso. Ex quo patet quod arcuum oppositorum aequalium in sphaera recta sunt ascensiones aequales; et idem intellige de ascensionibus partium istarum 4 4'tarum.

Praedictis tamen non ob<s>tantibus, quilibet arcus primae 4'tae zodiaci, a principio cancri inceptus, oritur recte; et arcus incepti a principio librae versus cancrum oriuntur lique; tamen e converso computando hii oriuntur lique (liqui B3), hii vero recte (-to B3). Ex quo ulterius patet quod quilibet arcus ab aliquo puncto infra (inter B3) principium arietis incipiens, transiens ad principium cancri, oritur cum arcu aequinoctialis maiore eo; quilibet tamen a principio arietis incipiens, desinens in aliquo puncto infra principium cancri, oblique sive cum minore aequinoctialis eo oritur; igitur, licet aries et taurus oriuntur(!) oblique in sphaera recta, tamen gemini oriuntur recte; et simili modo in aliis 4 est imaginandum.

Deinde notandum quod arcus versus finem primae 4'tae rectius oriuntur quam illi qui sunt prope principium. Patet, si imaginemur magnum circulum per extrema istorum arcuum aequlium transire, ita ut transeat unus versus principium geminorum, alter per principium tauri, alter per principium arietis, alter (similiter B3) per principium cancri, usque ad aequinoctialem. Et facti sunt iam 3 trigoni ex concursu magnorum circulorum, quorum bases sunt aries, taurus et gemini, et coni cadunt super polum arcticum. Tunc notum est quod semper illius trianguli, qui coluro solstitiali magis accedit, latera sunt breviora, et anguli super basim eius plus aequalitati vicinantur, quia rectis angulis sunt similiores, sicut apparet ex 2'a parte 3'ae suppositionis. Igitur, ex 4'ta suppositione, illius trianguli angulus conalis est maior; quare illi basi maior //B3,85v// aequinoctialis correspondet quam basi alterius trianguli qui plus principio arietis appropinquat. Et conformiter est in omnibus aliis 4'tis (4 ar'd B3). Ex quo patet quod omnibus arcubus aequalibus ab aliquo punctorum solstitialium inceptis cooriuntur aequales arcus aequinoctialis; et similiter est de arcubus inchoatis a punctis aequinoctiorum. Et illud intellige de ascensionibus signorum .

§
In sphaera autem obliqua nullis semicirculis zodiaci nisi a 2'obus punctis aequinoctiorum inchoatis semicirculi aequinoctialis coascendunt. Incipiat ergo aliquis semicirculus in aliquo puncto primae 4'ae zodiaci, sicut a principio tauri, et faciam transire horizontem obliquum per illum punctum, et similiter (sicut B3) rectum horizontem; idem (illud B3) imaginor fieri in fine illius medietatis. Quare, cum sectiones (secans B3) obliqui horizontis cum aequinoctiali sunt extra sectiones recti horizontis cum eodem, patet tunc quod cum semicirculo zodiaci illo oritur plus quam medietas aequinoctialis, quia inter duas sectiones recti horizontis est semicirculus circuli aequinoctialis, sicut patuit prius. Et eadem argumentatio est de omnibus semicirculis zodiaci interceptis inter principium arietis et librae, videlicet quod oriantur cum arcubus aequinoctiali semicirculo maioribus.

Et sciendum quod omnis circulus zodiaci inter punctum aequinoctii autumnalis et vernalis, per capricornum progrediendo, inchoatus ascendit in sphaera obliqua cum arcu aequinoctiali<s> semicirculo minori; quod patet ut supra, si imaginemur (-nentur B3) horizontes, scilicet rectum et obliquum, sese penetrare super principiis et terminis talium semicirculorum, quia semper ibidem sectiones (secatos B3) obliqui horizontis cum circulo recto sunt infra sectiones recti horizontis cum eodem.

Quod dictum est etiam patet ex alio, quia, nisi cum medietatibus eclipticae initiatis inter principium medietatis zodiaci septentrionalis et finem eius ascenderent arcus aequinoctiali<s> semicirculo maiores, dies artificiales, sole septentrionalia signa transcurrente, non excederent diem aequinoctialem. Pari ratione, si semicirculi meridionalis medietatis zodiaci non orirentur oblique, sole eandem medietatem transmeante non quilibet dies artificialis excederetur a die aequinoctiali. Quod falsum est; et patet de se consequentia, quia in //B3,85vb// quolibet die naturali oritur medietas, scilicet 6 signa. Quod autem medietatibus a punctis aequinoctiorum inceptis semicirculi aequinoctialis cooriantur, patet, quia illae medietates circuli recti conterminantur cum quibus oriuntur et occidunt.

Ex praedictis etiam patere potest quod semicirculus zodiaci a puncto solstitiali aestivali inchoatus ceteris semicirculis zodiaci rectius oritur, et semicirculus zodiaci in opposito puncto inceptus aliis oritur obliquius, quia bases trigonorum dicto modo imaginatorum, quae sunt arcus aequinoctialis inter sectiones horizontium, scilicet recti et obliqui, cum eodem, maiores sunt, obliquo horizonte transeunte per illa puncta, quia horizontes ibidem sese secant in puncto remotiori ab aequinoctiali, et horizontes illi dividunt aequinoctialem continue in angulis similibus; igitur intuenti patet propositum, videlicet quod bases illorum triangulorum maiores sunt basibus aliorum simili modo causatorum super aliis punctis zodiaci horizontibus eclipticam secantibus.

Obliquo horizonte dividente eclipticam super capite cancri, patet primam 4'tam zodiaci oblique ascendere, quia imaginemur triangulum ex concursu illius horizontis cum aequinoctiali et zodiaco, cuius trianguli obtuso angulo opponeretur 4'a zodiaci, acuto vero ascensio, sicut patet ex praesuppositis in principio; quare patet propositum. Ex eodem manifestum est quia 2'a 4'ta oritur cum maiori arcu aequinoctialis 4'a eius, et 3'a similiter, et 4 4'a oblique oritur. Totum est manifestum ex eis quae praemittebantur, si trigoni perpenduntur qui ex concursu horizontis, zodiaci et aequinoctialis conscribuntur, quorum conales anguli positi (oppositum B3) sunt super punctis aequinoctiorum. Et simili ratione patet quod quilibet arcus zodiaci septentrionalis inceptus a capite arietis et protensus versus libram in sphaera obliqua oritur oblique. Et similiter omnes arcus meridiales zodiaci ab eodem puncto incepti, versus principium librae porrecti, aequali oriuntur obliquitate. Et patet etiam ex eadem imaginatione omnes arcus zodiaci septentrionalis minores (maiores B3) medietate, inceptos (-ti B3) a capite librae, recte oriri. Similiter oriuntur arcus meridionales ab eodem puncto inchoati. Ex quo patet quod, licet aries oriatur oblique in sphaera obliqua, tamen totum residuum medietatis septentrionalis zodiaci oritur recte.

Patet etiam quod, existente sole in capite arietis, quilibet //B3,86ra// arcus medietatis zodiaci septentrionalis ante finem diei artificialis perortus est oblique [perortus], et tamen quilibet peroriundus usque ad finem diei artificialis recte perorietur; et oppositum fit, sole in principio librae existente. Sed forte aliquis diceret: "Si ista essent vera, sequitur, existente sole in principio arietis, minus esset tempus ab ortu usque ad meridiem quam a meridie usque ad occasum; quod patet, quia ante meridiem oritur prima 4'a zodiaci oblique, et adhuc alia 4'a est perorienda recte usque finem diei; quare perorietur illa 4'a in tempore maiori tempore in quo prima 4'a peroriebatur ante meridiem". Sciendum est quod ante meridiem non oriuntur praecise 3 signa zodiaci, immo oritur arcus zodiaci maior 4'a eius in tanto arcu quantus correspondet differentiae ascensionis illius 4'tae in sphaera recta ab ascensione eius in sphaera obliqua; quare, quando horizon obliquus transit per principium cancri, sole existente in principio arietis, nondum est 4'ta aequinoctialis perorta. Et si tunc imaginati fuerimus rectum horizontem transire similiter per principium cancri, patebit quod arcus deficiens ad complementum 4'tae est differentia praedicta; et talis arcus patet inter duas sectiones 2'orum horizontium iam protractorum (per- B3) cum aequinoctiali. Igitur, perorta praecise 4'ta, nondum est caput arietis in meridiano, sed aliquis gradus circa 20 gradum piscis in latitudine 51 gradus. Et sic ante meridiem peroritur (-ortus B3) plus 3 signis et post minus.

Ex tali autem imaginatione vel simili potest colligi (-legi B3) quod, in quocumque gradu zodiaci fuerit sol, tantus arcus aequinoctialis peroritur ante meridiem quantus post (p(otes)t B3), quamvis non semper oriatur tantus arcus zodiaci ante meridiem quantus post, nisi sol fuerit in principio cancri vel capricorni. Ratio est quia tunc obliquus horizon et meridianus zodiacum quadrant et super nullis aliis punctis ipsius zodiaci possunt ipsum quadrare; sed illi 2 circuli magni, scilicet horizon obliquus et meridianus, aequinoctialem semper quadrant. Ratio: quia uterque (aliter B3) transit semper per polos meridiani (aequinoctialis B3).

Declaratio (declinatio B3) praedictorum. Sit sol gratia exempli in principio cancri, et ponatur principium cancri in horizonte //B3,86rb// obliquo, et signetur punctus in aequinoctiali per quem transit talis horizon, qui punctus vocatur A. Deinde faciam transire circumferentiam magnam per polos aequinoctialis et per principium cancri existens in obliquo horizon, quae habebit situm recti horizontis; cuius circumferentiae sectionem cum aequinoctiali noto, quae vocatur B. Quo stante patet quod, existente A in linea meridiana, caput cancri adhuc est ante ipsam per arcum aequinoctialem inter B,A; igitur, existente B in puncto meridiano, erit in eodem caput cancri. Ex quo manifestum est quod ante meridiem ortus est arcus aequinoctialis maior 4'a parte in arcu AB, qui est dimidium differentiae maximae diei artificialis super diem aequinoctialem. Et quia, pervento B a meridie ad horizontem obliquum occidentalem, est 4'a pars aequinoctialis perorta post meridiem, quod de se patet, et tamen adhuc sol distat ab occasu per arcum zodiaci, cum quo descendet differentia ascensionum capitis cancri in sphaera recta et obliqua -- quod manifeste patet si imaginati fuerimus circumferentiam obliqui horizontis per principium cancri transire et notemus sectionem eius cum aequinoctiali, quae sit C; igitur, existente B puncto in +vero+ puncto horizontis occidentalis obliqui, qui punctus B correspondet capiti cancri in aequinoctiali secundum ascensiones in sphaera recta, patet intuenti quod arcus aequinoctialis BC est differentia ascensionum principii (-pium B3) cancri in sphaera obliqua; et arcus AB etiam fuit talis differentia -- igitur, ex quo ante meridiem oriebatur 4'a aequinoctialis (occidentalis B3) cum arcu AB, et similiter post meridiem 4'a cum arcu CB, sequitur ante meridiem, sole existente in principio cancri, esse ortum tantum arcum (ortum B3) aequinoctialis quantus post meridiem oriebatur. Ex isto patet quod in quolibet die artificiali maiori die aequinoctii, ante meridiem et similiter post, oritur arcus aequinoctialis maior arcu 90 gra in differentia ascensionum gradus zodiaci, in quo +faciet illum diem+ (>>sol est illo die?), in sphaera recta et obliqua; fuerit maior, tanto dies artificialis erit maior. Erit igitur maxima differentia ascensionum principii cancri 2 sphaerarum, quia dies illius gradus est maximus dierum septentrionalium artificialium.

Sed per oppositum est in diebus minoribus die aequinoctii, quia in quolibet tali, ante meridiem et similiter post, ascendit arcus aequinoctialis minor arcu //B3,86va// 90 graduum in differentia ascensionum gradus eius in sphaera recta et obliqua. Exempli gratia, sit sol in principio capricorni, quod iam ascendat, et signemus sectionem horizontis obliqui cum aequinoctiali, quae sit A. Tunc manifestum de se quod, pervento capite capricorni ad meridianum, A, punctus est aequinoctialis qui fuit cum ipso in horizonte, distat adhuc a meridie versus oriens per differentiam ascensionis capitis capricorni. Igitur, ab ortu usque ad meridiem, est ortus arcus aequinoctialis in tali differentia minor 4'a eius; et tantus orietur etiam post, ex priori imaginatione.

Sed forte aliquis diceret: "Dictum est quod semper inter meridianum et horizontem est 4'a pars aequinoctialis; igitur, existente sole in capite capricorni et in meridie, arcus mediurnus erit 90 grad()." Dicitur quod verum est quod semper est 4'ta aequinoctialis inter meridianum et horizontem obliquum; ex quo tamen non sequitur quod 4'a pars aequinoctialis sit arcus mediurnus, quia sol non venit cum eodem puncto aequinoctialis ad meridiem, cum quo fuit in horizonte, sed aliquando citius, aliquando tardius; et secundum hoc perpenditur quantitas aequinoctialis orti cum sole.

De quantitatibus autem arcuum zodiaci, qui in singulis diebus artificialibus <**> ab ortu usque ad meridianum, et etiam qui intercipiuntur inter meridianum et occidentalem horizontem, <**>. Dico igitur primo quod in omnibus diebus correspondentibus 4'tae vernali, excepto die capitis cancri, oritur ante meridiem arcus zodiaci maior signis communibus; et hoc est verum tam in sphaera recta quam obliqua, ita tam quod semper, in diebus remotioribus a capite arietis, excessus illius arcus ultra 3 signa est minor, ita quod in obliqua sphaera in principio talium die et excessus est maximus; sed in sphaera recta in principio illorum dierum praecise 3'a signa zodiaci oriuntur, et similiter in principio ultimo; sed in nullo die intermedio hoc contingit, ita quod in Thuringia, cuius latitudo est 51 gradus fere, sole existente in principio arietis, an meridiem oriuntur 3'a (3'es B3) signa zodiaci cum 26 gra; et ex hoc comprehende quantitates excessuum dictorum in diebus intermediis.

2'o dico quod in omnibus diebus artificialibus medietatis anni, quae est inter solstitium aestivale et hiemale, exclusis diebus solstitiorum, ante meridiem oritur arcus zodiaci minor 3 signis; illo tamen //B3,86vb// ordine quod, sole existente in capite cancri, praecise oriuntur usque ad meridiem 3 signa. Et continue, secundum maiorem remotionem eius a capite cancri, plus minoratur talis arcus infra tria signa, donec sol venerit circa medium scorpionis, quia, ibi sole existente, oritur in prima quadra die unus arcus zodiaci, qui in supradicta latitudine est 53 graduum. Et iterum circa medium scorpionis incipit ille arcus minus (?) augeri, ita quod, sole existente in capite capricorni, oriantur praecise 3 signa; et illud est maxime intelligendum in sphaera obliqua.

3'o dico quod in quolibet <**> medietatis anni, quae incipit a solstitio hiemali et <**> solstitium aestivale, prima die et ultima exclusis, oritur maior arcus ante meridiem 3 signis (sig(n)ito B3); tali tamen ordine quod in principio istorum dierum oriantur praecise 3 signa, quae continue maiorantur donec sol venerit ad medium aquarii, ubi oritur maximus arcus zodiaci ante meridiem, et in praedicta latitudine, scilicet Herfordensi, 4 signorum et fere 6 gra. Et ibidem incipit talis quantitas minorari usque in principium cancri, in quo iterum sole existente oriuntur signa 3 ante meridiem. Et similiter et quanti oriantur arcus ante meridiem in diebus vernalibus de zodiaco, patebit.

Ex iam dictis potest (possunt B3) cognosci aestimatione, singulis horis quanti arcus zodiaci sint intercepti inter semicirculos 4, scilicet meridiani et horizontis obliqui, +hoc+ habito gradu medii caeli aestimatione.

Sed notandum quod omnes praedictae quantitates arcuum zodiaci et etiam aequinoctialis, quae oriuntur in 2 medietatibus dierum artificialium, variantur propter maiorem vel minorem obliquitatem sphaerae; sicut clarum est, quia in sphaeris obliquioribus intercipiuntur in praedictis quadris maiores vel minores arcus zodiaci quam +dl()+ de latitudine 51 graduum. Et occurrit dubium, utrum in aliqua sphaera obliqua aliqui arcus zodiaci aequatur suis ascensionibus, ita quod cum quolibet illorum oriatur tantus arcus aequinoctialis (e(qua)lis B3). Videtur quod sic, quoniam libra in sphaera recta oritur oblique et in sphaera obliqua oritur recte; igitur oriebatur in aliqua sphaera intermedia obliqua cum aequali arcu aequinoctiali<s>, quia videtur quod ibi non posset fieri transitus de minoribus in maiores ascensiones nisi per aequales; quare necessario erunt ascensiones sphaerae //B3,87ra// obliquae. Contrarium videtur, quia tunc esset danda regio (-ia B3) aliqua, cuius obliquus horizon aequinoctialem et zodiacum secaret ad aequales angulos sphaerales intrinsecos, quia alias impossibile est hoc continere. Quod non videtur verum: dicitur quod impossibile est dare regionem terrae habentem aliquam sphaeram in qua omnibus arcubus zodiaci cooriantur aequales arcus aequinoctialis. Ratio est quia impossibile quod, in aliqua sphaera obliqua, horizon in omnibus horis dividat tam aequinoctialem quam zodiacum ad angulos aequales, quia si sic maxime, videretur quod talis horizon distaret a quolibet polorum aequinoctialis per medietatem maximae solis declinationis, quod est falsum. Ratio illius est quia, quandocumque ille horizon colurum solstitialem secat orthogonaliter super punctis inter polum zodiaci et aequinoctialem, tantum caput arietis et librae (linee B3) semper sunt in horizonte; et quia tunc horizon talis aequaliter distat a polis aequinoctialis et zodiaci, ipse dividit utrumque eorum ad angulos aequales. Sed quia, statim firmamento moto versus occidentem, polus zodiaci arcticus versus oriens horizonti appropinquat continue, donec se ponat in horizontem, igitur numquam amplius ille horizon dividet utrumque ad aequales angulos, nisi iterum redeat prior situs; igitur in tali horizonte nulli arcui zodiaci potest coascendere arcus aequinoctialis sibi aequalis. Quod tamen maxime videtur circa talem situm horizontis, quia ipse aliquando tam zodiacum quam aequinoctialem dividit ad angulos aequales. Sed est advertendum quod in tali sphaera signa oblique oriuntur, quae tamen in obliquioribus e oriuntur recte, sicut manifeste patet de libra (linea B3), quia ex quo, stante dica imaginatione, polus arcticus zodiaci veniet ad horizontem, tunc horizon secabit zodiacum ad angulos continue maiores, appropinquantes rectis angulis procedentes versus caput capricorni; igitur, considerato triangulo (3o'lo B3) cuius conum concludunt ecliptica et aequinoctialis super capite librae (linee B3) et cuius basis est portio horizontis intercepta ab eis, patet propositum, cum anguli illius horizontis, quos cum aequinoctiali facit, semper sint similes vel aequales. Sed tamen propter argumentum factum dicitur quod aliquis arcus minor quam 4'a zodiaci in obliqua sphaera adaequatur suis ascensionibus; hoc probatur si fecerimus obliquum //B3,87rb// horizontem, distantem per unum vel 2 gradus a polis aequinoctialis, quia talis horizon secat aequinoctialem in angulos inaequales, quorum unus acutus erit, versus zodiacum procedendo a libra (linea B3) versus capricornum. Et similiter secabit eclipticam ad angulos meridiales, quorum acuti erunt minores acutis angulis quos fecit cum aequinoctiali.

Ratio quia ille horizon distat a polo zodiaci: quia <**?> a polis aequinoctialis. Et angulus acutus intrinsecus versus aequinoctialem continue augetur, donec erit rectus, quia polus zodiaci veniet ad horizontem; igitur utique talis angulus acutus super zodiaco aliquando aequabitur acuto intrinseco aequinoctialis. Igitur patet propositum consideranti trigonum qui ibidem causatur dico modo.

§
Iam dicendum est de diversitate dierum, quia immediatius videtur dependere ex varietate portionum ascendentium zodiaci, de qua dictum est. Provenit autem dierum naturalium inaequalitas (inequalium \equaliter(?)/ B3) ex duabus causis, ut communiter dicitur, scilicet ex inaequalitate ascensionum partium aequalium zodiaci et ex inaequalitate veri motus solis in uno die naturali. Ratio: quia dies est revolutio una aequinoctialis cum tanta parte eius, quanta est ascensio solis eadem die; igitur, cum aequalium arcuum zodiaci sint inaequales ascensiones, et cum sol temporibus aequalibus inaequales portiones zodiaci pertranseat, patet propositum.

Diceres contra: dies naturalis est tempus in quo sol medio suo motu pertransit 59 minuta et 8 2'a, et tale tempus semper oportet esse aequale; igitur, cum cuilibet talium temporum correspondeat revolutio aequinoctialis cum tanta parte eius, quanta respondet residuo (-dui B3) solis, patet quod semper est aequalis ascensio motus medii solis in uno die, quia, si inaequalis, tunc utique tempora essent inaequalia in quorum quolibet movetur sol 59 minuta et 8 2'a; igitur medius motus solis non esset uniformis et aequalis, quod falsum est.

Est ergo advertendum quod duplex est dies naturalis, scilicet medius et differens. Medius est spatium in quo sol medio suo motu pertransit 59 minuta et 8 2'a; et talem diem medium causat una revolutio aequinoctialis cum 59 minutis eius et 8 secundis, ut dicitur in 2 Almagesti. +Quia+ in medio aquarii, tauri et +virginis+ ascensio in sphaera recta correspondens medio motui solis in tempore quo linea medii motus solis volvitur a meridiano ad meridianum aequatur ei, sicut patet //B3,87va// ex tabulis ascensionum signorum in sphaera recta. Sed scimus iam quantum sol pertransit medio suo motu in uno die; igitur tempus mensurans revolutionem completam cum tanta parte eius, quantam sol in die de zodiaco pertransit, est dies medius et aequalis, secundum cuius quantitatem medii motus planetarum sunt determinati, quos habemus in capitibus tabularum mediorum motuum.

Dies vero differens est tempus mensurans unam revolutionem aequinoctialis (-lem B3) cum tanta parte eius, quanta coascendit vero motui solis in uno die medio; sed quia ille motus solis est difformis et ascensiones sunt inaequales, igitur isti dies sunt inaequales (materiales B3) inter se ut plurimum (plt'm B3). Et sunt similiter inaequales (mediales B3) diebus mediis; quandoque enim sunt eis maiores, quandoque minores. Maiores sunt diebus , quotiens ascensio in sphaera recta veri motu<s> solis in uno die medio est maior 59 minutis et 8 2'is; et sunt minores (maiores B3) eis quando ascensio illa est minor. Et differentia revolutionum (removens B3), subtracta minori a maiori, collecta cum praecedentibus [est] vocatur aequatio dierum.

Collectio autem talium differentiarum, secundum Ptolomaeum ubi supra, incipit circa longitudinem mediam augendo, quod patet bene volenti considerare singulas diffferentias dierum diversorum et mediorum per ascensiones sphaerae rectae a media (motu B3) longitudine vernali versus cancrum procedendo. Talis autem aequatio semper debet addi diebus mediis ut aequentur differentibus. Ratio: quia principium aequationis illius positum est super additiones in tabulis aequationis dierum. Quod sic declaratur: quia circa longitudinem mediam vernalem, ubi collectio dictarum differentiarum incipit, ascensio veri motus solis in uno die est minor 59 minutis 8 2'is, quod manifestum est inspicienti tabulas ascensionis signorum in circulo recto. Et talis excessus duplicando augetur a principio, et continue remittitur augmentatio usque in finem geminorum, ubi incipit diminutio e converso. Igitur, sole existente in ariete, uno die medio revoluto a meridie secundum cuius revolutionem mensuramus motus planetarum, centrum solis est post meridiem 15 vel 16 minutis aequinoctialis; et ista quantitas continue augetur usque ad principium diminutionis signatum antea.

Igitur, si voluerimus quantitatem diei differentis, secundum quantitatem cuius capimus verum gradum ascendentem, oportet nos addere tempus correspondens aequationi ad tempus diei mediocris, //B3,87vb// ad quod aequamus loca planetarum. Sed e converso esset, si principium aequationis esset positum super subtractionem, quia tunc semper tempus respondens aequationi subtraheremus a diebus mediis, quia centrum solis maneret tunc ante meridiem, diebus mediis revolutis, secundum quantitatem aequationis inventae in tabulis, sicut nunc venit post continue ubi fuerit circa longitudinem mediam, quod patet subtiliter intuenti modum +aug()+ aequationis.

Ex praedictis patet quod, inventis locis planetarum praecise ad meridiem crastinae (-tane B3) diei vel alterius, centro solis existente in meridiano eodem die, non est verum dicere quod motus planetarum sint tanti quanti prius ad meridiem illius diei inveniebantur; sed, ut praehabitum (phi()m B3), declinante sole a meridiano per aliquot minuta, vel gradus cum minutis, motus planetarum veniunt ad quantitates praedeterminatas ad meridiem per aequationem factam ex tabulis [patet]. Patet etiam quod, invento solis introitu in aliquod signum vel punctum zodiaci praecise in meridie alicuius diei, ad habendum ascensiones vere oportet necessario adhuc addi super illud tempus aliqua minuta et 2'a horarum, quia alias falsificaretur ascendens, medium caeli (m.c.: m.c B3 ut vid.) vel signa quandoque.

Igitur quamvis semper, existente sole in principio cancri vel capricorni in meridiano, ascendit unus punctus +aequinoctialium+, tamen non oportet si introitus solis in illa puncta fuerit in meridie, quod +ergo+ verum ascendens tempore introitus centri (cancri B3) solis non fuerit in meridiano propter diversitatem dierum mediorum et differentium (dran()tiu() B3).

Sed forte aliquis diceret contra hoc, quod dicebatur quod motus medii essent determinati super dies (motus B3) medios, quia communiter utimur 24 horis aequalibus pro uno die, quia pro qualibet hora utimur 15 gra aequinoctialis in operationibus multis; modo 15 multiplicati per 24 faciunt praecise revolutionem aequinoctialis; igitur videtur quod tempus unius revolutionis aequinoctialis sit dies mensurans medios motus planetarum. Dico quod non sequitur, quia tantum in opere investigationis gradus ascendentis utimur pro qualibet hora aequali praecise 15 gradus, quamvis secundum veritatem uni horae aequali respondeat maior ascensio, ut patuit; sed in aequatione planetarum utimur hora simpliciter et absolute pro 24 parte diei unius, quantuscumque sit dies ille; igitur non facit aliquam diversitatem //B3,88ra// in dictis.

Sed quia gradus ascendens est principium distinctionis figurae caeli, de qua postea dicetur, dicenda sunt aliqua quae occurrunt circa inventiones ascensionum. Ad habendum autem veraciter ascensus alicuius coniunctionis vel applicationis oportet nos scire tempus elapsum ab ortu solis in horis aequalibus; quas horas convertimus in arcum aequinoctialem elevatum, [cadendo] capiendo praecise pro (quod B3) qualibet hora aequali 15 gradus aequinoctialis. Sed pro qualibet hora inaequali capimus 12'am partem arcus diurni vel nocturni, vel 12'as arcus (a'as B3) utriusque. Et talis arcus diurnus est ascensio medietatis zodiaci inceptae (incaute B3) a puncto in quo est sol hora applicationis assumpt, nihil addendo propter solis renisum usque ad punctum oppositum vel nadir eius; ascensio, dico, regionis in qua operaris.

Sed est dubium ex quo secundum rei veritatem uni horae aequali correspondet ascensio maior 15 gradibus, sicut ex dictis trahi potest simile dubium de quantitatibus ascensionum horarum inaequalium, quae secundum veritatem sunt maiores quam inveniuntur per divisionem arcus diurni dicto modo accepti, quia alias sol ab ortu ad occasum non esset motus renitendo, quod de se est inimaginabile. Dicitur ad hoc quod tales quantitates omissae in opere inventionis gradus ascendentis nullum inferunt errorem. Ratio: quia ipsae praecise intrant ascensiones gradus solis, quibus addimus arcum elevatum collectum ex ascensionibus horarum aequalium et inaequalium. Exempli gratia, inveniatur ascendens verum sole occidente, qui sit in principio cancri, ita quod capiantur ascensiones medietatis zodiaci a capite cancri (capricorni B3) usque in principium capricorni pro arcu diurno, sine additione portionis aequinoctialis quae respondet arcui zodiaci quem sol pertransit ab ortu in occasum; quae portio gratia exempli vocatur A. Deinde capiantur ascensiones principii cancri in sphaera in qua fit operatio; et si terminetur sive continetur +ascensioni+ cancri et arcuum sequentium, sequitur manifeste quod A portio aequinoctialis respondens renisui solis intret ascensiones gradus solis. Quare per illum modum inventus est arcus aequinoctialis qui in tali sphaera coascendit //B3,88rb// arcui zodiaci in[ter]cepti a capite arietis usque ad gradum eius ascendentem. Et talis arcus aequinoctialis, stante dicta hypothesi, integratus est ex tribus arcubus aequinoctialis, scilicet uno qui est ascensio minuti zodiaci in quo erat sol in ortu, et alio arcu [quo] qui respondet renisui, et 3'o qui colligitur ex sequentibus quantitatibus 12 horarum inaequalium, quae quantitates sunt 12 partes arcus diurni simpliciter capti, sicut dicebatur. Igitur planum est quod dicto modo sine errore ascendens verum investigatur; et simili modo in aliis hypothesibus declari potest per horas aequales et inaequales.

Amplius advertendum quod per tabulas adaequatas ad unum meridianum terrae aridae, sicut ad Parisius vel Herfordiam, inveniuntur ascendentes gradus in aliis regionibus ab illa distantibus secundum longitudinem tantum, vel secundum longitudinem et latitudinem simul sine errore unius gradus, in distantibus secundum latitudinem tantum omnino sine errore. Primum sic declaratur: quia impossibile est solem transire unum gradum zodiaci in tempore quo movetur ab uno duorum meridianorum maxime distantium regionum inhabitatorum, igitur, cum sol in eodem gradu zodiaci venit ad utrumque illorum meridianorum et cum polus elevetur in ambobus horizontibus aequaliter, sequitur quod arcus zodiaci aequales in gradu saltem, vel idem arcus non diversificatus in gradibus, intercipiatur inter quemlibet illorum meridianorum et horizontem suum. Igitur patet quod in regionibus propinquis, quarum meridiani distant per tempus in quo sol potest transire 2 minuta vel 4, quod est unius vel duarum horarum vel 4, insensibilis est error proveniens in ascendente propter hoc quod tabulae aequatae non sunt ad meridianum alterius regionis. Sed quia in regionibus eiusdem meridiani sol aeque cito venit ad meridiem, igitur planum est quod ascendens in qualibet talium praecise inveniatur, habitis ascensionibus signorum propriis in qualibet earum. Et proportionaliter declaratur quod in regionibus distantibus tam secundum longitudinem quam latitudinem non accidet error, si ascendens debite aequetur secundum ascensiones horizontis utriusque regionis.

Diceret forte aliquis contra dicta sic: distent 2'o meridiani per unam horam; igitur in una hora prius venit sol ad unum eorum quam ad alium. Et sic 15 gradus //B3,88va// aequinoctialis ascendunt antequam sol movetur ab uno eorum in alium. Igitur ascendentis gradus, sole existente in illis meridianis, videntur quasi 15 grad. distare. Dicitur quod non sequitur, cuius ratio ex iam dictis potest plane patere intuenti; sed argumentum illud tantum bene concludit quod, existente sole in uno illorum meridianorum, ascendens in horizonte eiusdem per 15 grad. vel circa distat a[b] gradu ascendente pro eadem hora horizonte alterius meridiani; hoc enim est necessarium, et cum illo bene stabunt prius dicta.

Duodecim domus caeli sunt 12 partes eius plerumque inaequales, in quas dividunt ipsum 6 magni circuli secantes se super polis arctico et antarctico, ita quod inter quoslibet 2'os semicirculos talis intercipitur portio aequinoctialis quae oritur in 2'obus horis inaequalibus diei vel noctis gradus zodiaci qui ascendit in hora consimili[s]. Principium autem figurae caeli est gradus ascendens, a quo computatur domus, ita quod in eo scilicet ascendente incipiat prima domus, et procedatur usque ad lineam mediae (-ii B3) noctis, sic quod inter ascendens et angulum terrae sint 3 domus, et 4'ta incipiat a gradu zodiaci qui invenitur in linea mediae noctis; et eo modo quaelibet 4'a sequens habet 3 domos, computando successionem signorum.

Imaginamur autem divisiones et quantitates domorum taliter. Consideramus primo gradum ascendentem. Deinde investigamus in tabulis, quanta portio aequinoctialis oriatur in una hora inaequali illius diei qui fit quando sol est in gradu ascendente; quam portionem duplamus. Deinde dividimus per imaginationem portionem aequinoctialis (-lem B3), quae hora consimili[s] descendit a meridiano versus orientem, in 3 tantas partes aequales, quantae sunt quantitates duplicatae horae inaequalis. Post imaginamur 3 circulos, secantes se super polis arctico et antarctico, venire per puncta dictarum divisionum, qui divident 4'tam caeli inter meridianum et horizontem obliquum, et oppositam, in 3 partes aequales, quae vocantur domus istarum 4'tarum. Deinde portionem aequinoctialis, quae est inter semicirculum (-ciclum B3) transeuntem per gradum ascendentem -- sive per principium primae domus -- et inter lineam mediae noctis, dividimus in 3 partes aequales, quarum quaelibet est aequalis quantitati duarum horarum inaequalium noctis diei gradus ascendentis simul sumptis. Et per illas divisiones imaginamur iterum transire 3 [semi]circulos se secantes (secantium B3) super polis aequinoctialis, qui dividunt //B3,88vb// illam 4'tam matutinalem in 3 partes aequales et similiter eius oppositam, scilicet vespertinam, quae erunt domus illarum 4'tarum; et gradus zodiaci, per quos transeunt dicti circuli, sunt initia domorum caeli.

Vel alio et breviori modo: imaginemur unum magnum circulum per polos aequinoctialis transeuntem et per gradum ascendentem et descendentem, qui circulus et meridianus secant aequinoctialem semper in 4'or portiones inaequales, nisi ascendat aliquis punctorum aequinoctialium. Quaelibet autem portionum illarum 4 dividatur in 3'es partes aequales. Et si imaginati fuerimus circulos magnos transire per illas divisiones, habebimus caelum divisum in hora considerationis in 12 domus caeli. Ex quo etiam patet ratio illius scilicet quare, quando aequamus duodecim domos, semper ascensiones domorum reducuntur ad gradus zodiaci in tabula ascensionis signorum in sphaera recta: quia circuli magni distinguentes (distinct<i>ones B3) domus habent se ad aequinoctialem et zodiacum sicut horizon rectus, quod per polos aequinoctialis transeunt sicut rectus horizon.

Sed diceret aliquis: si cuilibet 3 domorum a meridie ad horizontem correspondet quantitas 2 horarum inaequalium diei gradus ascendentis, sequitur, ascendente primo gradu cancri, quod inter meridianum et horizontem essent plures gradus aequinoctialis quam 90, quod est falsum. Dicitur quod argumentum bene concluderet si ascensiones principii primi domus terminarentur in horizonte obliquo; sed hoc non est verum, immo perpenduntur ultra sub horizonte, usque occurrant circulo transeunti (-nte B3) per gradum ascendentem et polos aequinoctialis (-les B3). Igitur, ascendente principio cancri, magna pars partis aequinoctialis quae est in 12 domo est sub horizonte obliquo; et igitur aliqua stella, antequam oriatur, potest esse in 12 domo; et hoc etiam est possibile de planeta habente latitudinem magnam versus meridiem, quod patet imaginanti.

Et nota quod ascensio arcus zodiaci, qui simul horum est inter meridianum et caput capricorni in circulo recto, est praecise aequalis ascensioni arcus zodiaci qui simul horum est inter horizontem obliquum et caput arietis in sphaera obliqua. Patet illud, quod semper, cum caput arietis est in horizonte obliquo, caput capricorni est tunc in meridiano. Cum ergo tunc sit 4'ta pars //B3,89ra// aequinoctialis inter meridianum et horizontem, igitur, signatis 2 punctis aequinoctialis respondentibus principio arietis et capricorni scilicet per A et B, notum est -- ex quo horizon et meridianus stent sive sint fixi, et aequinoctialis secundum eundem situm movetur uniformiter -- quod in aequalibus temporibus A et B aequaliter distabunt a meridiano et horizonte obliquo, ita quod, quando A, quod est in aequinoctiali cum capite arietis, ab horizonte per 4 partem aequinoctialis, similiter B tantum distabit in aequinoctiali a meridiano versus occidentem; etiam proportionaliter distabunt a memoratis circulis, sicut imaginanti faciliter patet.

Ex isto patet quare, cum reducantur ascensiones ascendentis gradus in obliqua sphaera ad gradus zodiaci in tabula ascensionum circuli recti, inveniatur gradus medii caeli: quia ascensiones ascendentis in obliqua sphaera sunt aequales ascensionibus arcus zodiaci a capite capricorni inchoati (incocati B3) usque ad meridianum in circulo recto. Ex quo patet quare potius tabula ascensionis signorum in circulo recto sit inchoata a capricorno quam ariete; et similiter, quare [ascendentium] ascensionum tabulae in sphaeris obliquis incipiantur ab ariete: quia ut facilius inveniatur gradus medii caeli, habito ascendente secundum doctrinam canonum tabularum.

Notandum quod nulli planetae et stellae, habentes latitudinem, cum gradibus zodiaci et minutis, in quibus sunt, veniunt ad initia 12 domorum caeli, nisi fuerit in colu solstitiorum; et quanto eorum latitudines fuerint maiores a septentrionem vel meridiem, tanto erit maior diversitas et differentia in isto, quod est de se planum.

Ex imaginatione domorum posita patet quod, quanto maior est dies artificialis gradus ascendentis, tanto 6 domus, scilicet 10'a, 11'a, 12'a, 4'ta, 5'a et 6'a, sunt maiores, capientes maiores portiones aequinoctialis; et aliae sex tanto sunt maiores, quanto nox artificialis gradus ascendentis sit maior. Et patet ulterius quod, quando nox artificialis gradus ascendentis est maior die artificiali, tunc 6 domus 2 quartarum, scilicet matutinalis et vespertinalis, sunt maiores //B3,89rb// aliis sex domibus aliarum 2 quartarum. Ex quo patet quod penes magnitudinem ascensionum vel parvitatem signi ascendentis non est consideranda magnitudo vel parvitas domorum quoad portiones aequinoctialis et zodiaci in eas cadentes, sicut forte quibusdam videretur. Hoc patet, cum libra (linea B3) habet maximam ascensionem in sphaera obliqua et tamen tunc non sunt maximae domus.

Ex iam dictis etiam patet quod, ascendente capite cancri, sex domus, scilicet 10, 11'a et 12'a, 4'ta, 5'a et 6'a, sunt maximae, aliae autem 6 tunc sunt minimae, quia quantitates earum capiuntur penes quantitatem horarum inaequalium noctis minimae. Et per oppositum contingit ascendente capite capricorni.

Et quantitates domorum maximarum in regione latitudinis 48 graduum, scilicet 10'ae et 4'ae (-a et -a B3), sunt 42 gradus vel circa; et minimarum quantitas, scilicet primae et 7'ae, est 18 grad() zodiaci vel circa. Et istud potest aliquis faciliter invenire in astrolabio (astrologo B3).

Et sic ex dictis istis unicuique potest patere, consideranti quantitates horarum inaequalium noctis et diei gradus ascendentis, quae domus sint aliis maiores vel minores, et similiter, quanta unaquaeque earum sit; quod multum utile est volentibus proficere in iudiciis astrorum.

§
Postremo de ortu et occasu astrorum aliquid dicatur. Omne astrum fixum vel erraticum, habens latitudinem ab ecliptica septentrionalem, in regionibus ultra medium 2'i climatis, vel in quibus polus arcticus elevatur (-etur B3) plus maxima declinatione solis ab aequinoctiali, prius oritur gradu zodiaci in quo invenitur per tabulas. Quod patet ex eo quod horizontes talium regionum eclipticam secant ad obtusos angulos in oriente versus ad +septentrionalem+. Et circumferentia transiens per polos zodiaci et per centrum astri, inveniens gradum zodiaci in quo est astrum, eclipticam semper secat ad angulos rectos; igitur tota 4'a eius a polo arctico zodiaci in gradu ascendentem declinat semper ab horizonte versus meridiem; igitur, quodcumque astrum est in illa 4'ta, prius fuit ortum gradu zodiaci per quem transit.

Et patet ex hoc quod, quanto (-ta B3) latitudo astri fuerit maior ab ecliptica versus polum, tanto citius oritur ante suum //B3,89va// gradum. Sed astra habentia latitudines meridiales ab ecliptica in dictis regionibus per oppositum se habent, quia gradus in quibus inveniuntur citius oriuntur ipsis; quod habet (patet B3) dicto modo declarari et similiter patet unicuique intuenti circulos sphaerae.

Simili imagine patet quod omnia astra existentia in medietate zodiaci inter caput capricorni et cancri, habentia latitudinem septentrionalem, prius ad medium caeli veniunt gradus zodiaci in quibus inveniuntur per tabulas; sed in reliqua medietate zodiaci gradus astrorum prius veniunt ad medium caeli quam centra astrorum; quod totum patet imaginanti in sphaera. Sed si habuerit latitudines meridiales, directe per oppositum se habebunt dicta. Sed si fuerint in capite cancri vel capricorni, aequaliter cum suis gradibus veniunt ad medium caeli.

Advertendum est propter quaedam dicta et similiter dicenda, quod cuilibet astro assignatur duplex gradus vel locus secundum quod reguletur, scilicet locus in caelo et locus in zodiaco. Locum in caelo cuiuslibet astri invenit recta linea per imaginationem tracta a centro terrae per centrum astri usque ad convexitatem caeli, ita quod punctus ibi eam terminans vocatur locus astri in caelo. Sed locus astri in zodiaco est gradus zodiaci, per quem transit circulus transiens per polos per centrum illius astri; et talem longitudinem astri invenimus per tabulas motuum planetarum, et alium non.

Ex istis infertur quod unus duorum planetarum vel 2 stellarum, inventorum in eodem minuto et 2'o, [unus] altero prius oritur vel occidit vel ad medium caeli venit. Ex quo ulterius patet quod non oportet semper lunam occidere vel oriri si, tempore oppositionis, sol oriatur aut occidit; immo, oriente sole tempore +oppositionis+, lunam possibile est ortam esse vel orituram esse, quod contingit propter latitudinem eius ab ecliptica et obliquitatem horizontis, sicul patet faciliter imaginanti in instrumento sphaerae. Et patet ex declaratis quod una 2 stellarum fixarum, inventarum in uno gradu zodiaci, oriatur, cum altera sit in medio caeli; et hoc patet de 2 stellis quae inveniuntur (-irentur B3) in capite arietis, ita quod una habeat latitudinem ad septentrionem, altera ad meridiem; et est planum imaginanti in sphaera. Patet etiam quod numquam 2 planetae distantes secundum latitudinem, simul venientes ad meridianum, //B3,89vb// sunt coniuncti secundum longitudinem, nisi fuerit in principiis signorum solstitialium. Et similiter nec (n'a B3) 2 astra distantia secundum latitudinem, simul orientia, habent coniunctionem secundum longitudinem, sed eorum coniunctio prius fuit vel posterius erit.

Cum enim planetae videantur oriri et occidere respectu radiorum solis -- qui ortus et occasus noscitur in Mercurio et Venere per argumenta eorum in epicyclis suis, in 3 autem superioribus per recessus solis ab eis vel accessus ad eos <**>. Sed ortus lunae a radiis est nobilior propter diversitatem crementi et divisionis luminis eius in ortu et occasu respectu radiorum solis, quae contingit propter remotionem lunae a sole secundum successionem (suggestionem B3) signorum.

Cum autem semper lunae, maior medietate eius, versa (v(er)isa B3) recte ad solem illuminetur a sole, tunc, luna oriente a radiis solis, pars eius, quae directe vertitur ad solem, continue magis et magis vers terram <**>. Sed quia terminus partis lunae illuminatae est circumferentialis, cuius pars terminas partem partis illuminatae apparentis nobis est oculo propinquior, ita quod gibbositas eius vertatur ad solem et sit nobis propinquior, et termini eius vertantur a sole versus orientem et fiunt remotiores ab oculo, et sic concava circumferentia luminis lunae est pars termini circumferentialis lunae illuminatae a sole, et circumferentia convexitatis luminis lunae est altior in luna; et ita (/illa?) transit +superius+ per partem illuminatam, dividens partem lunae illuminatam visam a nobis a parte illuminata superiori non visa ab oculo sub luna in terra existente. Et illa portio visa in principio est parva, acuta in extremitatibus et lata in medio eius, cuius extremitates in principio vertuntur versus orientem; et continue illa pars visa maioratur propter ressum maiorem lunae a sole, ita quod, luna distante a sole per 4 partem circuli, talis portio apparens sit fere medietas portionis lunae illuminatae. Et quia tunc terminus circumferentialis totius partis illuminatae est versus ad oculum secundum diametrum eius, et non secundum superficiem sive secundum latum, igitur praecise luna apparet (.a.3. B3) dimidiata per rectam lineam, quamvis secundum veritatem terminus luminis eius, qui rectus apparet, sit circumferentia terminans partem lunae illuminatam. //B3,90ra//

Gibbositas autem sive convexitas, quae apparet in lumine lunae versus orientem post primam quadram, efficitur a convexitate circumferentiae partem totam illuminatam terminantis; quae convexitas continue maioratur, donec tota pars lunae illuminata directe vertatur versus oculum; quae cum sit sphaerica, apparet nobis tempore oppositionis lumen lunae perfectae perspicacitatis. Et planum apparet propter nimiam distantiam, propter quam oculus non apprehendit inaequalitatem radiorum procedentium a medio partis illuminatae et ab extremitatibus; propter quod sphaericum (spiricum B3) in longa distantia apparet planum. Decrementum autem luminis post oppositionem contingit proportionaliter cremento a coniunctione ad oppositionem.

Apparet autem ex praedictis quod cornua lunae a coniunctione usque ad primam quadram vertantur secundum successionem signorum; post secundam quadram vero vertuntur contra successionem signorum et versus solem, computando a sole ad lunam. Patet etiam quod, si sol est maior luna, cornua declinant versus meridiem (=?); si autem fuerit sol minor luna, cornua eius maiora erunt, ut poterit apparere.